casos de factorización

Casos de Factorización 

Caso 1  Factor Común

Ejemplo:
 
3x + 3y = 3(x + y) R//

Explicación: 

Observamos claramente que el 3 está multiplicando con cada termino, este número es el factor común.
El binomio que queda después de que el tres abandona cada termino.
En el primer término sale el tres nos queda x.
En el segundo término sale el tres nos queda y.
Y así obtenemos este binomio con el caso llamado con el caso factor común.

Caso 2 Factor Común por Agrupación de Términos 

Ejemplo:


2ac – 5bd – 2a +2ad – 5b – 5bc=  2ac – 2a + 2ad – 5bc + 5b – 5bd
= (2ac – 2a + 2ad) – (5bc - 5b + 5bd) =2a (c – 1 + d) -5b (c -1 + d)
= (2a – 5b) (c – 1 + d) R//

Explicación:

-Observamos el ejercicios en este caso tenemos un polinomio de 6 términos.

-Ver cuantos términos con coeficiente iguales hay para poder ordenarlo.

- Una vez ordenado pasamos a agrupar los términos entre paréntesis

- una vez agrupar sacamos factor común de cada termino

- nos quedara un binomio y luego agrupamos y así nos quedara factorizado nuestro ejercicios. 

Caso 3 Trinomio Cuadrado Perfecto 

Ejemplo: 

-x²  +  6x  - 9 = - (x²   -   6x   +   9) = - (x - 3)²

                             x              (-3)
                                   2.x. (-3)
                                     -6x

Explicación: 

1) Antes que nada hay que "sacar el menos afuera". Es decir, poner un signo menos adelante de un paréntesis, y dentro de él poner los tres términos del polinomio pero con el signo opuesto al que traían. "Saco como Factor Común al número -1", es decir, dividido todos los términos por -1. Al hacer esto, todos los términos quedan "con el signo cambiado". Si no hago esto, no se puede aplicar el caso Trinomio Cuadrado Perfecto.

2) Luego, el polinomio que tenemos que factorizar con el Tercer Caso es:
x2  -  6x  +  9

Los cuadrados son x2 y 9. Las bases son x y (-3). El doble producto es 2.x. (-3), es decir que da -6x. Entonces estamos ante un Trinomio Cuadrado Perfecto. La solución es:

(x-3)²

3) Pero como el polinomio original era igual a -(x2 - 6x + 9), el resultado de la factorización completa es:
-(x - 3)²





Caso 4 Diferencia de Cuadrados Perfectos

Ejemplo: 
16² - 25y⁴= (4x – 5y²) (4x + 5y²) R//

Explicación:


16x² – 25y⁴
1er paso.- Se resuelve por medio de dos paréntesis
(           ) (         )
2do paso.- uno es positivo y otro negativo.
(    +    )  (    -    )
3er paso.- En los paréntesis se deben colocar las raíces.
(4x + 5y²) (4x + 5y²)



Caso 5 Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción 

Ejemplo: 

x⁴ + 11x² + 28= (x² + 7) (x² + 4) R//

Explicación:

-Primero sacamos raíz cuadrada del primer término que es x² y eso lo escribimos al comienzo de cada paréntesis.

-Vamos ahora a definir los signos de cada paréntesis

-Ahora vamos a buscar dos números positivos que multiplicado nos de 28 y sumado nos dé como resultado 11.

-Ahora vamos hacer la descomposición del número 28.

-De estos números formamos parejas que sumado nos de 28 y 11.

-Y así obtenemos la factorización de este trinomio utilizando el caso número 5.

Caso 6 Trinomio de la forma x² + bx + c

Ejemplo:

 x² + 5x + 6 =

(x + 3) (x + 2) R//

Explicación: 

-Observamos el ejercicio y abrimos dos paréntesis y ponemos la x en el primer paréntesis y la otra x en el segundo paréntesis.

-Luego colocamos el signo que separa al ejercicio y en el segundo paréntesis la suma de los dos signos.

-Luego en el primer paréntesis colocamos 2 número que multiplicado me de 6 y nos de 5 y así tenemos factorizado el ejercicio.

Caso 7 Trinomio de la forma ax²+bx+c

Ejemplo: 

Explicación:

Lo primero que realizamos es sacar el factor común multiplicando el primer término por el tercer término y nos que 20.

Luego procedemos a realizar el trinomio en donde tenemos que buscar que un número multiplicado nos de 20 y sumado nos de 9.

A continuación procedemos a realizar  la simplificación respectiva.

Después de haber realizado la simplificación obtenemos la respuesta que es

(2x – 1) (5x – 2)

                              

Caso 8  Cubo perfecto de binomio

 Ejemplo: 

 

Explicación:

Los primero que realizamos en este caso de factorización es sacar la raíz cubica del primer término y la raíz cubica del cuarto termino.

Luego procedemos a verificar  si la factorización es correcta y lo que tenemos que realizar es multiplicar el triple producto por el primer término elevado al cuadrado por el cuarto termino que nos queda .

Después volvemos a realizar lo mismo en este paso multiplicando el  triple producto por el primer término y por el cuarto término elevado al cuadrado y nos queda .

Luego de haber realizado estos pasos nos damos cuenta que si es un cubo perfecto de binomios.

  

Caso 9 Suma o diferencia de cubos perfectos

Ejemplo: 

 

 

Explicación:

Sacamos la raíz cubica

Sacamos factor coto factor largo

Luego resolvemos los binomios

Luego términos semejante destruimos corchetes

R// 

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Ejemplo: 

Aqui tenemos dos videos del caso 1 y 5 de Factorización