Simbolización de Conectores Lógicos
Objetivo:
Utilizar
la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo; sin
analizar sus valores de verdad.
Conectores Lógicos
Son
operadores lógicos a la manera de los simbolos matemáticos
Conectivos
Lógicos
La lógica
proposicional y simbólica utiliza los siguientes conectores lógicos.
-
Conjunción
-
Disyunción
-
Disyunción Exclusiva
-
Negación
-
Condicional
-
Bicondicional
Conjunción
La conjunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones
simples con el enlace “y”. Símbolo:
" ^ "
Enunciado compuesto: p ^ q
Significado: “y”,…”pero”….,…”aunque”…
Ejemplo:
“El automóvil enciende cuando tiene gasolina y tiene corriente la
batería”
p : El automóvil enciende cuando tiene gasolina.
q : El automóvil enciende cuando
tiene corriente.
Se represent: p ^ q
La tabla de verdad es:
p
|
q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Según
esto:
p : V
Significa que el auto tiene gasolina en el tanque
q : V
Significa que la batería tiene corriente
p ^ q= V Representa que el auto puede encender.
Si p o q tiene como valor de verdad F
implica que no tiene gasolina en el tanque o no tiene energía la batería y que
por lo tanto no puede encender.
Conclusión:
Una
conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son
verdaderas.
DISYUNCIÓN
La disyunción es una proposición
compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Se
clasifica en DISYUNCIÓN INCLUSIVA y DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
DISYUNCION INCLUSIVA
La disyunción Inclusiva es una proposición
compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Su
símbolo: “ v ”
Enunciado
compuesto: “p v q”
Significado
“… o …, …u….”
Con este conector se obtiene un valor
de verdad V cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera.
Ejemplo:
“Una
persona puede entrar al teatro si compra el boleto u obtiene una invitación
gratuita”
p : Una
persona entra al teatro si compra el boleto.
q : Una
persona entra al teatro si obtiene una invitación gratuita.
Se
representa . p v q
La
tabla de verdad es:
p
|
q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
La única forma en la que no puede
ingresar al teatro (p v q=F), es que no compre su boleta (p=F) y que no obtenga una
invitación gratuita (q =F)
Conclusión:
La
Disyunción Inclusiva implica que puede verificarse una de las dos
proposiciones simples, o ambas a la vez; ya que uno no excluye a la otra.
DISYUNCION
EXCLUSIVA
La disyunción Exclusiva es una
proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el
enlace “o”. Su símbolo: “ v ”
Enunciado
compuesto: “ p v q ”
Su
significado: “o bien...”
Con este conector se presenta que al
menos una de las opciones es verdadera, pero solo una, si p=V y q =V entonces p v q=F
Ejemplo:
“o
Juan es cristiano o musulmán”
p : Juan
es cristiano
q : Juan
es musulmán
Se
representa p v q
La
tabla de verdad es:
p
|
q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
En este conector si se plantea (p=V)y
(q =V) el resultado de p v q es falso porque Juan es cristiano o musulmán y no las dos.
Conclusión:
La
Disyunción Exclusiva implica que se verifica una de las dos
proposiciones, pero no ambas a la vez.
NEGACION
La Negación es una
proposición simple, que resulta de contradecir el sentido de verdad de dicha
proposición. Su símbolo:
" ¬, ~ "
Su
enunciado compuesto:
"¬p
, ~p”
Su
significado: “No, no es cierto que…, ni”
Su función es negar los enunciados o
proposiciones, esto significa que si alguna proposición es verdadera y se
aplica el operador su negación es Falso.
Ejemplo:
p : Hoy
esta lloviendo. Su negación: ~p
: Hoy no esta lloviendo
La
tabla de verdad es:
CONDICIONAL
Una condicional es una proposición de
la forma “Si p entonces q”, donde “p es una condición suficiente para que
q se cumpla”. Su símbolo: " → "
Su
enunciado compuesto: p → q
Su
significado: “Si … entonces…”
Una proposición condicional esta
compuesta por dos proposiciones simples: que se llaman p (antecedente) o Hipótesis y q (consecuente) o Tesis.
p → q antecedente consecuente
Ejemplo:
Un
candidato a la alcaldía dice:
Si
salgo elegido alcalde, los niños recibirán alimentación gratuita.
p :
Salio elegido alcalde.
q :
Los niños recibirán alimentación gratuita.
Se
representa: p → q
Su
tabla de verdad es:
p
|
Q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
Cuando p=V significa que salio
elegido, y q =V significa que los niños recibirán alimentación gratuita, por
tanto p → q =V y el candidato cumplió su palabra.
Cuando p=V y q =F significa que p → q=F, el candidato no cumplió por que fue elegido y no le dio
alimentación gratuita a los niños.
Cuando p=F y q =V significa que aunque
el candidato no fue elegido le dio alimentación gratuita a los niños, por tanto
p → q=V
La Condicional es una proposición compuesta falsa, si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos la
proposición es verdadera
BICONDICIONAL
Una Bicondicional es una proposición
donde “p es una condición necesaria y suficiente para q”. Su símbolo: " ‹–› "
Su
enunciado compuesto: p ‹–› q
Su
significado: “…si y sólo si…“
Sea proposición bicondicional p ‹–› q Y se puede expresar: (p → q) ^ (q → p) Esto significa que p
es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es.
Ejemplo:
Apruebas
la asignatura, si y solo si entrega las actividades escolares.
p
: Apruebas la asignatura.
q
: Entrega las actividades escolares.
Se
representa: p ‹–› q
Su
tabla de verdad es:
p
|
Q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Conclusión:
Las
proposiciones condicionales solamente son verdaderas si tanto p como q son
falsas o verdaderas.
TABLAS DE VERDAD.
Teniendo en cuenta que la forma
correcta de escribir una variable proposicional es la sintaxis y la semántica
es lo que significa. En la lógica una variable proposicional une solamente dos
valores de verdad V o F.
Para determinar de una Variable
Proposicional, debemos seguir las reglas que se dieron en el tema conectores.
Esto se hace mediante interpretación que son un conjunto de valores que se
asignan a sus proposiciones simples o atómicas.
Construcción de tabla de verdad ( p → q ) ^ ( ¬p ‹–› ¬q )
|
|
|
|
|
|
|
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
TAUTOLOGÍA:
Si
y solo si su valor de verdad es siempre V, para toda interpretación posible.
Esto significa que el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final.
CONTRADICCIÓN:
Si
la tabla de verdad arroja solamente F.
CONTINGENCIA:
Si
y solo si su valor de verdad es falso para al menos una interpretación y V para
al menos otra.
Consistencia: Cuando la
tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores verdaderos que falsos.
Inconsistencia: Cuando la
tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores falsos que verdaderos.
